从小提琴中振动出的波动方程，成了支撑现代科技的基础理论之一

波动方程让我们对水波，声波，光波，弹性振动有了更深刻的理解地震学家使用波动方程来推断地球内部的结构石油公司使用类似的方法来寻找石油物理学家用它预测了电磁波的存在，导致了收音机，电视，雷达和现代通讯的出现

几个世纪前，数学家就开始思考波他们首先学习音乐，尤其是小提琴小提琴弦听起来怎么样

小提琴的弦可以合理地假设为一条无限细的线，它的振动发生在一个平面上这个假设起到了降维的作用，从而使问题简单化一旦我们理解了简单波的原理，我们就可以将这种理解扩展到真实波如果一些数学家没有想到小提琴的声音原理，就不会有今天的电子世界和全球通讯

毕达哥拉斯学派与音乐

毕达哥拉斯学派认为世界是以数字为基础的，他们认为数字指的是整数或者整数之间的比率。

毕达哥拉斯的一些重要世界观来自音乐有一个故事说毕达哥拉斯路过一家铁匠铺他注意到不同大小的锤子发出不同的音调，由简单数字链接的锤子发出的声音很和谐

毕达哥拉斯用一根可拉伸的绳子做了一系列实验托勒密在公元150年前后和谐地提到了这些实验毕达哥拉斯通过将支架沿琴弦移动到不同的位置，发现当两根张力相等的琴弦的长度处于简单的比例时，可以发出和谐的声音，而复杂的比例则是不和谐的

一点音乐理论

音乐家根据音符之间的音程来描述一对音符最基本的音程是八度在小提琴上，在开放的弦上演奏超过一个八度的方法是在指板上按弦的中间所以八度音符与一个简单的数字比例2:1有关

其他和谐音符也与简单的数字比例有关西方音乐最重要的是4:3和3:2的比例如果考虑到整个音符的音阶，这些名字是有意义的，比如C，D，E，F，G，A，B，C，以C为基础，四度对应的音是F，五度对应的音是G，八度是C

这些比例为音乐音阶提供了理论基础，并发展成为现今大多数西方音乐使用的音阶为了以后方便，我把3:2写成3/2的分数从一个基本音开始，升到五度，得到一串长音

计算

除了前两个音符，所有这些音符都太高，无法保持在一个八度以内，但我们可以将它们降低一个或多个八度，并将分数重复除以2，直到结果介于1和2之间这就是分数

最后，排序结果是:

这些音和钢琴上的C，D，E，G，A，B音相当接近注意F没了事实上，对于耳朵来说，81/64和3/2之间的差距听起来比其他的更大为了填补这个空白，我们插入了4/3的比例——第四度，非常接近钢琴上的F

现在我们已经解释了钢琴上的白音，但也有黑音这是因为音阶中连续的数字有两种不同的比率:9/8和256/243比如81/64和9/8的比值是9/8，而4/3和81/64的比值是256/243声音和半音这两个名字表示音程的近似比较数值分别为1.125和1.05第一个音符较大，所以音符的音高变化比半音大两个半音的比例是1.05 2，所以两个半音非常接近一个音

继续这个思路，我们可以把每个音分成两个音程，得到一个12音音阶这可以通过几种不同的方式实现，结果略有不同无论如何，当我们改变一段音乐的音调时，可能会出现微妙但听得见的问题:如果我们将每个音符向上移动半音，音程会略有变化如果我们为半音选择一个特定的比率，使它的12次方等于2，就可以避免这种影响那么两个音符就构成了一个准确的半音，12个半音就构成了一个八度您可以通过以固定幅度上下移动所有音符来更改音阶

毕达哥拉斯的自然和谐理论实际上是以西方音乐为基础的要解释为什么简单比与音乐和声密切相关，必须看弦振动的物理现象

声明:我不是乐理专家希望大家留言指出错误

物理现象

关键是牛顿第二运动定律，它把加速度和力联系起来我们还需要知道弦在张力的作用下，伴随着弦的运动，轻微的拉伸或收缩，弦是如何变化的为此，我们需要胡克定律:弹簧长度的变化与施加其上的力成正比小提琴弦其实是一种弹簧但是还有一个障碍:小提琴弦是一个连续体，是一条由无穷多个点组成的线所以研究循环的数学家认为弦是大量由弹簧连接的致密粒子这样可以写出小提琴弦的振动方程

1727年，约翰·伯努利开始解决这个问题在他的数学模型中，只有一根两端固定的弦，没有小提琴，弦在一个平面内上下振动在这个实验中，伯努利发现弦在任意时刻振动的形状都是正弦的，振动幅度也遵循正弦曲线他的解是sinct sinx，其中c是常数

连续振动的弦它的形状是正弦曲线振幅也随时间正弦变化

Sinx告诉我们在时间t乘以系数sinct后的振动形状。振荡周期为2π/℃

这是伯努利得到的最简单的解，但还有其他形式。

振动模式1，2，3在每种情况下，弦都上下振动，其振幅随时间呈正弦变化波浪越多，振动越快

类似地，正弦曲线是任意时刻的弦的形状，其振幅乘以时间相关因子，时间相关因子也是正弦变化的公式为sin2ct sin2x，sin3ct sin3x等等振动周期为2π/2c，2π/3c等等所以波浪越多，弦振动越快

通过乐器的结构和数学模型的假设，琴弦上的一些点总是静止的这些点就是毕达哥拉斯实验中简单数字比的原因例如，由于振动模式2和3出现在同一根弦上，所以模式2的节点之间的间隙是模式3的3/2倍这解释了为什么3:2的比率自然地产生于振动弹簧的动态，但是它没有解释为什么这些比率是和谐的在解决这个问题之前，先介绍一下这篇论文的主题——波动方程

波动方程

波动方程源于牛顿第二运动定律1746年，让—洛朗·达朗贝尔将振动的小提琴弦视为粒子的集合他推导出一个方程来描述弦的形状如何随时间变化但是在我解释它看起来像什么之前，我们需要理解一个叫做偏导数的概念

如果函数U只依赖于一个变量X，我们把它的导数写成

u的微小变化除以x的微小变化

但是波高u不仅取决于x，还取决于时间t，在任意固定的时刻，我们可以找到du/dx，它告诉我们波的局部斜率但我们也可以固定空间，让时间改变它告诉我们一个粒子上下跳动的速率

我们可以用du/dt来表示时间导数，解释为u的一个小变化除以t的一个小变化，但这种表示隐藏了一种歧义:高度du的一个小变化，在两种情况下可能不同，通常是不同的我们在对空间进行微分的时候，让空间变量变化一点，然后看高度如何变化，我们对时间求导的时候，让时间变量变化一点，看看高度是怎么变化的没有理由说随时间的变化应该等于随空间的变化

因此，数学家决定通过改变符号d来处理这种模糊性他们选择了符号

让许多人头疼的符号

然后他们把这两个导数写成

只要你看到它，它就会告诉你，你会看到关于几个不同变量的变化率这些变化率被称为偏导数，因为从概念上讲，你只改变了变量集的一部分，其余部分保持不变

这就是达朗贝尔在解振弦方程时所面临的弦的形状取决于空间和时间牛顿第二运动定律告诉他，一根短弦的加速度与作用在它上面的力成正比加速度是速度对时间的导数但这个力是相邻线段的拉力，相邻是指空间的微小变化当他计算这些力的时候，他得到了这个方程

其中u是时间t时x在弦上的垂直位置，c是与弦的张力和弹性相关的常数。

达朗贝尔公式就是波动方程和牛顿第二定律一样，是微分方程，涉及到u的二阶导数，因为这些都是偏导数，所以是偏微分方程空间二阶导数代表作用在弦上的合力，时间二阶导数就是加速度波动方程开创了一个先例:经典数学物理中的关键方程大多是偏微分方程

波动方程写好了，就可以解了因为这是一个线性方程偏微分方程有很多解，通常是无限的，因为每个初始状态都有独立的解例如，小提琴的弦可以弯曲成你喜欢的任何形状线性是指如果u 和v 是解，那么任意线性组合au+bv 也是解，其中A和B是常数

波动方程的线性特征源于伯努利和达朗贝尔所作的近似:所有的扰动都被假定为很小现在，弦上的力可以近似地用各种质量的位移的线性组合来表示更好的近似将导致更复杂的非线性偏微分方程

知道达朗贝尔的思路是正确的，因为他找到了一个固定形状的解，沿着一根弦移动，就像一个波方程中的波速是常数c波可以向左或向右传播，叠加原理在这里起了作用达朗贝尔证明了每个解都是两个波的叠加，一个波向左传播，另一个波向右传播此外，每个单独的波可以具有任何形状在一端固定的小提琴弦中发现的驻波是两个形状相同的波的组合，一个向左移动，另一个向右移动在两端，这两波正好相互抵消:一波的波峰与另一波的波谷重合所以它们满足物理边界条件

求解波动方程有两种方法:伯努利方程可以得到正弦和余弦，达朗贝尔方程可以得到任意形状的波起初，达朗贝尔的解决方案似乎更普遍:正弦和余弦是函数但是大部分函数都不是正弦和余弦但是波动方程是线性的，所以伯努利解可以合并为简单起见，我们只需要考虑固定时间的波，摆脱时间依赖以5 sinx+4 sin 2x 2 cos 6 x为例它的形状相当不规则，摆动幅度很大，但仍然是平滑的波浪形

不同振幅和频率的正弦和余弦的典型组合。

让数学家们恼火的是，有些函数是如此粗糙或参差不齐，以至于我们不能把它们写成正弦和余弦的线性组合但是如果你使用有限数量的正弦和余弦，情况就不一样了——这就提出了一个解决方案收敛的无穷级数的正弦和余弦也满足波动方程能代表锯齿函数吗数学家们就这个问题争论不休，当同样的问题出现在热学理论中时，争论终于达到了高潮关于热流的问题自然涉及到有突跳的不连续函数，比锯齿状函数更糟糕但这样一来，大多数合理的波形都可以用正弦和余弦的无穷级数来表示，所以可以用正弦和余弦的有限组合来近似表示

正弦和余弦解释了毕达哥拉斯学派所提倡的和谐比例这些特殊形状的波在声音理论中很重要，因为它们代表纯音任何真正的乐器都可以产生纯音混合如果拨拉小提琴的琴弦，听到的主要音符是sinx波，但也叠加了一点sin2x，可能是sin3x之类的主音叫音高，剩下的就是它的和声X前面的数叫波数特别是sin2x的频率是sinx的两倍，比原来高一个八度这个音和基本音一起演奏时最和谐

数学家首先用最简单的方法推导出波动方程:一条振动线但在实际应用中，需要更一般的理论来模拟二维和三维波浪即使在音乐中，也需要两个维度来模拟鼓皮的振动模式物理学的许多其他领域涉及二维或三维模型把波动方程推广到更高维度是非常简单的你所要做的就是重复那些计算小提琴弦的方法

例如，在三维空间中，我们使用三个空间坐标和一个时间t波由依赖于这四个坐标的函数u来描述例如，它可以描述声波穿过空气时空气中的压力

括号里的公式叫拉普拉斯公式。这个表达式经常出现在数学物理中，所以它有自己特殊的符号:

另一个让很多人头疼的符号。

为了得到二维拉普拉斯方程，只需去掉z项。

高维度的主要问题是波浪产生的形状会非常复杂在一维空间中，唯一连通的形状是区间和线段但是，在二维空间中，它可以是平面上的任何形状，而在三维空间中，它可以是空间中的任何形状

波动方程取得了惊人的成功在物理学的某些领域，它非常接近于描述现实但是，它的推导需要几个假设当这些假设不切实际时，同样的物理思想可以修改以满足实际需要，从而产生不同版本的波动方程

地震就是一个典型的例子这里的主要问题不是达朗贝尔关于波的振幅很小的假设，而是畴的物理性质的变化这些特征将对地震波产生强烈影响，地震波是穿过地球的振动通过了解这些影响，我们可以深入地球，了解其组成

地震学的最大目标是找到一种可靠的方法来预测地震和火山爆发事实证明这很难，因为触发这些事件的条件是很多地方很多因素的复杂组合但是，地震学家对波动方程的研究为许多正在研究的项目提供了理论基础

波动方程也有一些商业应用石油公司通过在地表实施爆炸来勘探地下几公里的液体黄金，并利用爆炸产生的地震波回波来绘制地下地质条件这里的主要数学问题是从接收到的信号中重建地质，这是波动方程的反向使用